\end{align*}\]$ Dans le cas continu i. d: $\[\begin{align*} p\left(x_{1}, \ldots, x_{n};\theta\right)&=f\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\\ &=\prod_{i=1}^{n}f_{X_{i}}\left(x_{i}\right)\quad\text{ car les $X_{i}$ sont indépendantes}\\ &=\prod_{i=1}^{n}f\left(x_{i}\right)\quad\text{ car les $X_{i}$ sont de même loi}\. \end{align*}\]$ Maximum de vraisemblance La vraisemblance mesure la probabilité que les observations proviennent effectivement d'un échantillon de loi paramétrée par $\(\theta\)$. Trouver le maximum de vraisemblance consiste donc à trouver le paramètre le plus vraisemblable pour notre échantillon! On considère usuellement la log-vraisemblance (qui facilite les calculs pour des lois de probabilité appartenant à la famille dite exponentielle): $\[\ell\left(x_{1}, \ldots, x_{n};\theta\right)=\ln\left( p\left(x_{1}, \ldots, x_{n};\theta\right)\right)\]$ Application à la loi exponentielle Estimateur du maximum de vraisemblance Soit un échantillon $\(\left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right)\)$ de loi $\(\mathcal{E}\left( \theta\right)\)$.
#1 23-10-2010 21:31:05 Alya Membre Inscription: 23-10-2010 Messages: 3 proba estimateur maximum de vraisemblance Bonsoir, J'ai l'exercice suivent, mais mon problème c'est que je ne sais pas calculer l'EMV. Voici l'exo: dans une espèce, seul 37% des individus survivent aux premières 6 semaines de vie. On suit une popilation d'oeufs de cette èspèce, que l'on recence à 6 semaines: on trouve 235 petits (vivants). Quel est l'estimateur du maximum de vraisemlance de la population initiale d'oeufs ( N)? Je vous remercie par avance de votre aide. #2 24-10-2010 11:29:38 freddy Membre chevronné Lieu: Paris Inscription: 27-03-2009 Messages: 7 457 Re: proba estimateur maximum de vraisemblance Salut, c'est assez simple à comprendre. On te dit qu'on sait qu'après 6 semaines de vie, il ne reste que 37% des individus d'une espèce. On te dit ensuite qu'on suit une population de taille N et il reste 235 petits vivants après 6 semaines de vie. Donc on a [tex]N=\frac{235}{0, 37}=635\, [/tex] individus, selon le principe du max de vraisemblance.
Pratique du maximum de vraisemblance Section: Recherche d'estimateurs Précédent: Notion de vraisemblance Suivant: Intervalles de confiance Pratique du maximum de vraisemblance Dans la plupart des cas d'intérêt pratique, la loi, et donc aussi la vraisemblance, ont une expression dérivable par rapport à. Pour calculer le maximum de la il faut déterminer les valeurs pour lesquelles la dérivée de la vraisemblance s'annule. Or par définition, la est un produit de probabilités ou de densités, qui peut être assez compliqué à dériver. Il est préférable de dériver une somme, et c'est pourquoi on commence par remplacer la par son logarithme. La fonction logarithme étant croissante, il est équivalent de maximiser ou. Une fois déterminée une valeur de pour laquelle la dérivée s'annule, il faut s'assurer à l'aide de la dérivée seconde que ce point est bien un maximum. Nous traitons ci-dessous quelques familles classiques. Lois de Bernoulli L'ensemble des valeurs possibles est. Le paramètre inconnu est.
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