De cette façon, on peut déterminer quel signe doit prendre chaque opérande pour donner un résultat positif quand x est plus petit ou plus grand que ce point. Une fois qu'on à determiné comment lever les valeurs absolues (pour chaque cas) tout en respectant le fait que le résultat du binôme doit être positif, on peut procéder à résoudre les inéquations (pour chaque cas). Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes des. On résout les inéquations dans chaque intervalle de départ (qui correspond à chaque cas), mais on arrive à des intervalles (un intervalle par cas) qui sont solution de l'inéquation dans R, donc il reste encore à faire l'intersection entre l'intervalle de départ et l'intervalle de solution. Enfin, on unit tous les intervalles trouvés (un par cas) de sorte à avoir les solutions de x dans R
Lorsqu'on résout une inéquation comprenant des binômes en valeurs absolues, il faut parfois recourir à un tableau. D'où sort ce tableau? La valeur absolue - Maxicours. Imaginons qu'on à une inéquation avec des valeurs absolues comme celle-ci: |x + 3| < x + |x – 1| Pour enlever les valeurs absolues, on à trois approches: Élever au carré, l'inéquation (car valeur absolue ≥ 0 et le carré aussi) Raisonner en termes de distances (|x + 3| -> d(x, -3)) Faire un tableau qui permet de trouver les différentes valeurs que peuvent prendre les binômes une fois retirées les valeurs absolues, pour satisfaire abs ≥ 0, selon les différentes valeurs de x. Quand tout le reste ne fonctionne pas, on utilise le tableau, qui oblige à étuider n + 1 cas différents. Soit un interval de x différent pour chaque binôme différent + 1. A quoi sert ce tableau? Le tableau est une façon de séparer la droite des réels R, en plaçant des points qui sont définis par les soustractions dans les valeurs absolues ( un binôme à l'interieur d'une valeur absolue; addition/soustraction, est une distance entre deux points).
On est revenu au cas précédent et on trouve: S =] − 1; 2 [ S=\left] - 1; 2\right[
Par exemple pour l'inéquation ∣ x − 2 ∣ > 3 \left|x - 2\right| > 3, les solutions sont les nombres situés à plus de 3 unités du nombre 2. On trouve donc: S =] − ∞; − 1 [ ∪] 5; ∞ [ S=\left] - \infty; - 1\right[ \cup \left]5; \infty \right[ Variante 2 Pour une inéquation du type ∣ x + a ∣ < b \left|x+a\right| < b on utilise le fait que x + a = x − ( − a) x+a=x - \left( - a\right). Résoudre une équation avec une valeur absolue - 1S - Méthode Mathématiques - Kartable. Par exemple l'inéquation ∣ x + 2 ∣ < 3 \left|x+2\right| < 3 est identique à ∣ x − ( − 2) ∣ < 3 \left|x - \left( - 2\right)\right| < 3. On applique alors la même méthode: la distance entre x et -2 est strictement inférieure à 3 etc. (faites le graphique! ) et on trouve: S =] − 5; 1 [ S=\left] - 5; 1\right[ Variante 3 Pour une inéquation du type ∣ m x + a ∣ < b \left|mx+a\right| < b on met m m en facteur puis on se ramène au cas précédent en divisant chaque membre par ∣ m ∣ \left|m\right|. Par exemple l'inéquation ∣ 2 x − 1 ∣ < 3 \left|2x - 1\right| < 3 donne: ∣ 2 ( x − 1 2) ∣ < 3 \left|2\left(x - \frac{1}{2}\right)\right| < 3 ∣ 2 ∣ × ∣ x − 1 2 ∣ < 3 \left|2\right|\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3 car ∣ a b ∣ = ∣ a ∣ × ∣ b ∣ \left|ab\right|=\left|a\right|\times \left|b\right| 2 × ∣ x − 1 2 ∣ < 3 2\times \left|x - \frac{1}{2}\right| < 3 ∣ x − 1 2 ∣ < 3 2 \left|x - \frac{1}{2}\right| < \frac{3}{2} en divisant chaque membre par 2.
Télécharger l'article Une équation comportant une valeur absolue est une équation presque comme les autres, sauf qu'elle contient une expression un peu particulière: une valeur absolue de l'inconnue. La valeur absolue de est notée et est toujours positive (0 est une exception, car il n'est ni positif ni négatif). La résolution d'une telle équation obéit aux règles classiques de l'algèbre, mais la différence tient au fait qu'il faut ici résoudre deux équations. Ce n'est cependant pas très compliqué. 10. Résoudre une équation ou une inéquation avec de la valeur absolue grâce à la droite numérique – Cours Galilée. 1 Comprenez bien ce qu'est une valeur absolue. Sur le plan purement mathématique, il a été posé que:. Selon cette formule si est positif, alors sa valeur absolue est, mais si est négatif, alors sa valeur absolue est. Comme le produit de deux nombres négatifs est positif, alors la valeur absolue de est positive [1]. C'est ainsi que l'on a |9| = 9 et |-9| = -(-9) = 9. 2 Comprenez bien ce qu'est graphiquement une valeur absolue. Sur une droite numérique (graduée), la valeur absolue d'un nombre représente sa distance au 0 et comme telle, elle est forcément positive [2].
La notion de distance permet de résoudre des équations et inéquations avec des valeurs absolues. Propriété Soient et deux nombres réels, abscisses respectives des points A et B de la droite (OI). Alors. Exemple 1 Résoudre dans l'équation. On considère le point M d'abscisse et le point A d'abscisse 3. Alors. Donc. Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance 2 du point B: son abscisse est donc 3 + 2 = 5 ou 3 – 2 = 1. 1 et 5 sont les deux solutions de l'équation. Exemple 2 et le point A d'abscisse 5. On considère le point B d'abscisse 2. Alors. Donc. Ainsi, M est un point de la droite situé à une distance égale des points A et B: son abscisse est donc, unique solution de l'équation. Exemple 3 Résoudre dans l'inéquation. Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes et. On considère le point M d'abscisse. une distance strictement inférieure à 6 du point O: son abscisse est donc comprise entre 0 – 6 = –6 et 0 + 6 = 6. Les solutions de l'inéquation sont les réels de l'intervalle. Exemple 4 –4. droite situé à une distance inférieure à 3 du point A: son abscisse est donc comprise entre –4 – 3 = –7 et –4 + 3 = –1.
Méthode Pour résoudre graphiquement des inéquations du type ∣ x − a ∣ < b \left|x - a\right| < b ou ∣ x − a ∣ ⩽ b \left|x - a\right| \leqslant b ou ∣ x − a ∣ > b \left|x - a\right| > b ou ∣ x − a ∣ ⩾ b \left|x - a\right| \geqslant b, on utilise la propriété du cours qui dit que ∣ x − a ∣ \left|x - a\right| représente la distance entre x x et a a (plus précisément entre les points d'abscisses x x et a a). Exemple Par exemple, soit l'inéquation ∣ x − 2 ∣ < 3 \left|x - 2\right| < 3. On interprète ceci comme « la distance entre x et 2 est strictement inférieure à 3 ». Résoudre une inéquation avec des valeurs absolutes d. On trace donc le graphique suivant: Sur le graphique on voit que les nombres situés à moins de 3 unités du nombre 2 sont les nombres de l'intervalle] − 1; 5 [ \left] - 1; 5\right[. Donc: S =] − 1; 5 [ S=\left] - 1; 5\right[ Si l'inéquation avait été ∣ x − 2 ∣ ⩽ 3 \left|x - 2\right| \leqslant 3, il fallait prendre les extrémités de l'intervalle. L'ensemble des solutions était alors l'intervalle fermé: S = [ − 1; 5] S=\left[ - 1; 5\right] Variante 1 Pour une inéquation du type ∣ x − a ∣ > b \left|x - a\right| > b l'ensemble des solutions est la réunion de deux intervalles.