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Or, le champ électrique \(\vec E\) et le vecteur déplacement élémentaire \(\mathrm d \vec M\) ont même direction. D'où: \(\vec E. \mathrm d \vec M = E. \mathrm d M\) Comme \(E\) est constant: \(\displaystyle{V_A - V_B = \int_ \mathrm A ^ \mathrm B E. Électricité - Condensateur plan. \mathrm d M = E \int_ \mathrm A^ \mathrm B \mathrm d M}\) Comme \(\mathrm d M\) est la distance \(d\) des deux conducteurs il vient: \(V_A - V_B = E~d\). Soit: d) La quantité d'électricité portée par une armature est proportionnelle à la d. p. \(Q_A = \epsilon_0 \frac{S}{d} (V_A - V_B)\) D'où \(C = \frac{Q}{V_A - V_B} = \epsilon_0 \frac{S}{d}\) Démonstration: Les résultats précédents permettent de calculer la quantité d'électricité portée par une armature. Ainsi, l'armature \(A\) au potentiel le plus élevé, a la quantité d'électricité positive: \(Q_A = \sigma_A. S\) Eliminons \(\sigma_A\) de cette expression au moyen de la relation \(E = \frac{\sigma_A}{\epsilon_0}\), il vient: \(Q_A = \epsilon_0. E. S\) Puis en tenant compte de la relation \(E = \frac{\sigma_A}{\epsilon_0}\), on obtient: D'où: \(C = \frac{Q}{V_A - V_B} = \epsilon_0 \frac{S}{d}\)
Supposons que la distance entre les armatures du condensateur soit d comme indiqué dans la figure ci-dessous. Champ electrostatique condensateur plan de la ville. La différence de potentiel entre elles est donnée par: En utilisant le vecteur unitaire i pour écrire le vecteur champ électrique entre les plaques, nous avons: Nous pouvons écrire le vecteur d l sous la forme suivante: En substituant les deux vecteurs dans l'intégrale, nous obtenons: La capacité du condensateur plan est finalement: Durant la charge d'un condensateur, une charge dq positive est transférée depuis l'armature chargée négativement jusqu'à l'armature positive. Il est nécessaire de lui fournir une certaine quantité d'énergie sous forme de travail, car sinon la charge positive serait repoussée par l'armature chargée positivement. Le travail nécessaire pour déplacer la charge dq depuis l'armature négative jusqu'à l'armature positive est donné par: Nous intégrons entre la charge nulle (condensateur déchargé) et la charge maximale du condensateur q pour obtenir: Et en écrivant q en fonction de la capacité du condensateur nous obtenons: L'énergie utilisée pour charger le condensateur reste stockée dans celui-ci.