On pose, pour $f, g\in E$, $$\phi(f, g)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}f(a_n)g(a_n). $$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $E$. Inégalité de Cauchy-Schwarz Enoncé Soit $x, y, z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}. $ Enoncé Soient $x_1, \dots, x_n\in\mathbb R$. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1, \dots, n\}$ et que $x_1+\dots+x_n=1$. $$\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\geq n^2$$ Enoncé Étudier la nature de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2(\sqrt 2)^n}\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}$. Enoncé Soit $E=\mathcal C([a, b], \mathbb R_+^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte? Norme Enoncé Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x, y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in]0, 1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.
Produit scalaire, orthogonalité Enoncé Les applications suivantes définissent-elles un produit scalaire sur $\mathbb R^2$? $\varphi_1\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=\sqrt{x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2}$; $\varphi_2\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=4x_1y_1-x_2y_2$; $\varphi_3\big((x_1, x_2), (y_1, y_2)\big)=x_1y_1-3x_1y_2-3x_2y_1+10x_2y_2$. Enoncé Pour $A, B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit $$\langle A, B\rangle=\textrm{tr}(A^T B). $$ Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$. En déduire que, pour tous $A, B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$, on a $$\big(\textrm{tr}(AB))^2\leq \textrm{tr}(A^2)\textrm{tr}(B^2). $$ Enoncé Soit $n\geq 1$ et soit $a_0, \dots, a_n$ des réels distincts deux à deux. Montrer que l'application $\varphi:\mathbb R_n[X]\times\mathbb R_n[X]\to\mathbb R$ définie par $\varphi(P, Q)=\sum_{i=0}^n P(a_i)Q(a_i)$ définit un produit scalaire sur $\mathbb R_n[X]$. Enoncé Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé: $\langle f, g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0, 1], \mathbb R)$; $\langle f, g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a, b], \mathbb R)$ où $w\in E$ satisfait $w>0$ sur $]a, b[$.
Enoncé Il est bien connu que si $E$ est un espace préhilbertien muni de la norme $\|. \|$, alors l'identité de la médiane (ou du parallélogramme) est vérifiée, à savoir: pour tous $x, y$ de $E$, on a: $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2. $$ L'objectif de cet exercice est de montrer une sorte de réciproque à cette propriété, à savoir le résultat suivant: si $E$ est un espace vectoriel normé réel dont la norme vérifie l'identité de la médiane, alors $E$ est nécessairement un espace préhilbertien, c'est-à-dire qu'il existe un produit scalaire $(.,. )$ sur $E$ tel que pour tout $x$ de $E$, on a $(x, x)=\|x\|^2$. Il s'agit donc de construire un produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose: $$(x, y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right). $$ Il reste à vérifier que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire. Montrer que pour tout $x, y$ de $E$, on a $(x, y)=(y, x)$ et $(x, x)=\|x\|^2$. Montrer que pour $x_1, \ x_2, \ y\in E$, on a $(x_1+x_2, y)-(x_1, y)-(x_2, y)=0$ (on utilisera l'identité de la médiane avec les paires $(x_1+y, x_2+y)$ et $(x_1-y, x_2-y)$).
Précautions d'utilisation. Cette poêle à paella a été conçu pour une utilisation avec du gaz ou une flamme directe. Ne placez jamais votre plat à paella vide sur une source de chaleur directe. Chauffez votre plat lentement. Si vous utilisez votre plat dans le four ne l'exposer jamais à des températures supérieures à 250 º C pendant plus de 10 minutes. Ne jamais utiliser dans les fours à micro-ondes. Utiliser uniquement des ustensiles en bois car ces poêles (y compris les poignées) deviennent très chaudes. Plat à Paella 90cm pour 50 personnes, Paellera, poele geante. QUELLE EST LA MEILLEURE FAÇON DE LA LAVER? Après l'utilisation de votre poêle, faites la tremper quelques minutes dans l'eau chaude savonneuse pendant, puis nettoyer la à l'aide d'une éponge. Diamètre du plat: 50 cm Nombres de parts: 15 portions Type: Plat à paella Hauteur: 5 cm Profondeur: 5. 5 cm Poids: 2. 2 kg Induction: Non Surface de cuisson: 44 cm Epaisseur du fond: 0. 8 mm Diamètre du fond: 44 cm Matériaux: Anti-adhésif Revêtement: Anti-adhérent
Vous pouvez voir un guide sur la façon de le faire dans la vidéo suivante: Vous pouvez trouver plus d'informations sur l'élimination de la rouille de votre paella sur notre blog.
Le réchaud à paella et la poêle à paella sont aussi importants que le choix d'une délicieuse recette, puisque les caractéristiques de la poêle peuvent influencer le goût de votre plat et sa cuisson! Les poêle à paella sont généralement des récipients peu profonds pour que le riz cuise de façon uniforme et en extension (non pas en profondeur). Elles sont munies de anses, deux ou quatre, pour une manipulation aisée. Ce qui change entre les modèles de poêle à paella, c'est donc le revêtement du récipient. Diameter poele a paella pour 50 personnes dans. Bien choisir le revêtement de sa poêle à paella Il existe trois types de revêtements principaux pour les poêles à paella et chacun d'entre eux présente des avantages particuliers: le revêtement en acier poli, en acier émaillé et le revêtement antiadhérent. Nous vous proposons donc quelques clés nécessaires au choix de la poêle qui vous conviendra le mieux. La poêle à paella en acier poli est certainement le récipient le plus traditionnel, celui qui donnera un goût véritablement authentique à votre plat.