1. Quelques résultats utiles a. Aire d'un secteur circulaire L' aire d'un secteur circulaire de rayon R et d'angle au centre α (en radians) est égale à. b. Propriétés des fonctions sinus et cosinus 2. Dérivabilité des fonctions sinus et a. Rappels Soit h un réel non nul, on pose: t f ( h) =. t f ( h) est le taux de variation de f entre a et a + h. Propriété Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est dérivable en a s'il existe un nombre L vérifiant:. On note L = f ' ( a). Les propriétés des fonctions sinus et cosinus - Maxicours. b. Dérivabilité en 0 Fonction sinus Propriétés La fonction sinus est dérivable en 0 et sin' (0) = 1. Démonstration Pour x non nul, le taux de variation de la fonction sinus entre x et 0 est: t sin ( x) On a vu que cos ( x) ≤ ≤ 1 pour et que. Donc, d'après le théorème d'encadrement, on en déduit que:. Ainsi: et donc sin ' (0) = 1. Fonction cosinus La fonction cosinus est dérivable en 0 et cos '(0) = 0. nul, le taux de variation de la fonction cosinus entre est:. On a vu que. Donc:., donc et. Ainsi, et cos '(0) = 0. c. Dérivabilité sur R Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur et pour tout réel x, on a:.
a. Équations du type cos x = a ou sin x = a Exemple Résoudre l'équation sur l'intervalle. 1 re méthode: On utilise le cercle trigonométrique. On place sur le cercle les deux points qui correspondent à, c'est-à-dire les deux points d'abscisse. Donc l'équation admet deux solutions dans l'intervalle:. 2 e méthode: On utilise la courbe représentative de la fonction cosinus. On trace la courbe représentative de la fonction cosinus et la droite d'équation. On cherche le nombre de points d'intersection dans l'intervalle: il y en a deux. Les abscisses correspondent à des valeurs remarquables du cosinus. On retrouve sur l'intervalle. On peut utiliser ces deux méthodes pour résoudre une équation du type sin x = 0. Avec la méthode de l'utilisation du cercle trigonométrique, on place les points d'ordonnée a. b. Inéquations du type cos x <= a ou sin x <= a 1 re méthode: On utilise le cercle Les points solutions du cercle ont une abscisse inférieure ou égale à. Sinus, cosinus et tangente : rapports trigonométriques | HelloProf. Il s'agit des points qui sont sur l'arc de cercle rouge de la figure.
On en déduit donc que les fonction sinus et cosinus sont bornées sur, à savoir minorées par – 1 et majorées par 1.
54030230586 sin(1) ≈ 0. 8414709848 Dérivées Les fonctions sinus et cosinus sont dérivables sur leur ensemble de définition et ont pour dérivée: \begin{array}{l}\cos^{\prime}(x)=-\sin(x)\\ \sin^{\prime}(x) = \cos\left(x\right)\end{array} Limites \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x\to0}\ \frac{\sin\left(x\right)}{x}=1\\ \displaystyle \lim_{x\to0}\ \frac{\cos\left(x\right)-1}{x^2}=\frac{1}{2}\end{array} Pour le reste, sinus et cosinus ont un grand nombre de propriétés que vous trouverez ici dans cet article. Exemples Exemple 1 Simplifier l'expression \cos\left( \frac{37 \pi}{6}\right) On utilise la périodicité de cos: \cos \left(\frac{37\pi}{6}\right)\ =\ \cos \left(\frac{36\ \pi +\pi}{6}\right)=\cos \left(6\pi +\frac{\pi}{6}\right)\ =\ \cos \left(\frac{\pi}{6}\right)\ =\ \frac{\sqrt{3}}{2} Exemple 2 Résoudre dans]-π, π[ l'équation suivante: Commençons par simplifier l'expression \begin{array}{ll}&2\sin (x)+\sqrt{2}=0\ \\ \iff& 2\sin (x)=-\sqrt{2}\\ \iff& \sin (x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array} Ensuite, regardons le cercle trigonométrique: Graphiquement on voit qu'on a 2 solutions.
Cercle trigonométrique et angles remarquables Cette table de lignes trigonométriques exactes rassemble certaines valeurs des fonctions trigonométriques sinus, cosinus, tangente et cotangente sous forme d'expressions algébriques à l'aide de racines carrées de réels, parfois imbriquées. Ces expressions sont obtenues à partir des valeurs remarquables pour les angles de 30° (dans le triangle équilatéral) et de 36° (dans le pentagone régulier) et à l'aide des identités trigonométriques de duplication et d'addition des angles. Tableau cosinus et sinusite. Cette table est nécessairement incomplète, dans le sens où il est toujours possible de déduire une expression algébrique pour l'angle moitié ou l'angle double. En outre, de telles expressions sont en théorie calculables pour les angles de tout polygone régulier dont le nombre de côtés est un nombre premier de Fermat [ 1], or ici seuls les deux premiers ont été exploités: 3, 5. Tables de valeurs [ modifier | modifier le code] Dans un polygone régulier à n côtés, inscrit dans un cercle de rayon R, l' apothème et le demi-côté valent respectivement R cos(π/ n) et R sin(π/ n).
Mais on peut en éliminer une. En effet, cos(x)=X = 2 n'a pas de solution. On est alors ramenés à résoudre cos(x) = 1. Sur l'intervalle considéré, 0 est l'unique solution.